Tổng Hợp 6 Phương Pháp Chứng Minh 2 Đường Thẳng Vuông Góc Với Nhau

Hình học luôn là một thách thức lớn đối với nhiều học sinh, đặc biệt là các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc. Việc nhìn ra hướng giải và vẽ thêm đường phụ thường khiến các em lúng túng. Bài viết này Gia sư uy tín sẽ hệ thống hóa lại các kiến thức cốt lõi, cung cấp cho bạn "bản đồ" tư duy với những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để giải quyết dạng bài chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.

Khái niệm 2 đường thẳng vuông góc

• Định nghĩa: Hai đường thẳng trong không gian được xác định là vuông góc nếu góc giữa chúng có số đo bằng 90°.
• Ký hiệu: a ⊥ b.
• Định lý liên quan: Cho hai đường thẳng song song (a // b). Nếu đường thẳng c vuông góc với a (c ⊥ a) thì c cũng sẽ vuông góc với b (c ⊥ b).

Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Dựa trên kiến thức toán học THCS và THPT, dưới đây là các phương pháp phổ biến nhất để chứng minh hai đường thẳng vuông góc (a ⊥ b).

Dựa vào định nghĩa và số đo góc

Cách trực tiếp nhất là chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau bằng 90°.

• Sử dụng tính chất cộng góc: ∠xOy + ∠yOz = 90°.
• Trong tam giác vuông: Hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng 90°) suy ra góc còn lại là góc vuông.

Sử dụng tính chất của tam giác cân và tam giác đều

Trong tam giác cân hoặc tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.

• Ví dụ: Nếu ∆ABC cân tại A và M là trung điểm của BC, suy ra AM ⊥ BC.

Định lý Pytago đảo 

Nếu độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn hệ thức a² = b² + c² thì tam giác đó là tam giác vuông.

• Hai cạnh góc vuông chính là hai đường thẳng vuông góc cần chứng minh.

Tính chất đường trung trực

Nếu một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì nó cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó (vuông góc tại trung điểm).

• Cách dùng: Chứng minh 2 điểm cùng cách đều 2 đầu đoạn thẳng ➝ đường nối 2 điểm đó vuông góc với đoạn thẳng.

Quan hệ giữa tính vuông góc và song song

• Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b. (Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường còn lại).

Tính chất đường tròn

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
• Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến luôn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
• Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây cung đó.

Ví dụ minh hoạ chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết vào bài tập thực tế, hãy cùng xem xét ví dụ sau đây sử dụng Định lý Pytago đảo.

Đề bài: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là AB = 6 cm, AC = 8 cm và BC = 10 cm. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng AB ⊥ AC.

Lời giải:

Bước 1: Xét độ dài các cạnh của tam giác ABC

Ta có bình phương độ dài các cạnh như sau:

• AB² = 6² = 36
• AC² = 8² = 64
• BC² = 10² = 100

Bước 2: So sánh tổng bình phương hai cạnh nhỏ với bình phương cạnh lớn nhất

Ta nhận thấy: 36 + 64 = 100

Hay: BC² = AB² + AC²

Bước 3: Kết luận dựa trên định lý Pytago đảo

Theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A (do cạnh huyền là BC).

Suy ra: ∠BAC = 90°.

Vậy: AB ⊥ AC (điều phải chứng minh).

>>> Xem thêm: Dịch vụ gia sư Toán lớp 12 chất lượng

Việc nắm vững các phương pháp chứng minh vuông góc không chỉ giúp học sinh giải quyết bài tập nhanh chóng mà còn rèn luyện tư duy logic nhạy bén. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau để thành thạo kỹ năng này.

Nếu học sinh vẫn cảm thấy khó khăn với môn Hình học hoặc cần một lộ trình ôn thi bài bản, hãy liên hệ ngay với Trung tâm gia sư The TutorX. Với đội ngũ gia sư giỏi, tận tâm và phương pháp dạy cá nhân hóa, The TutorX sẽ giúp các em lấp đầy lỗ hổng kiến thức và bứt phá điểm số trong các kỳ thi sắp tới.