CẤP SỐ NHÂN LỚP 11: ĐỊNH NGHĨA, CÔNG THỨC VÀ VÍ DỤ

Cấp số nhân là một dạng bài toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11 nhưng nhiều học sinh vẫn chưa thực sự hiểu và vận dụng thành thạo kiến thức này. Trong bài viết này, The TutorX sẽ hệ thống đầy đủ công thức cấp số nhân lớp 11 đi kèm với ví dụ minh họa dễ hiểu, từ đó giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải bài nhanh chóng và chính xác hơn.

Định Nghĩa Cấp Số Nhân

Cấp số nhân là dãy số mà từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với một số cố định gọi là công bội (ký hiệu q).

Ví dụ: Dãy số 2, 6, 18, 54,... là cấp số nhân với công bội q = 3 vì:

• 2 × 3 = 6
• 6 × 3 = 18
• 18 × 3 = 54

Công Thức Cấp Số Nhân Tổng Quát

(u_n) là cấp số nhân với công bội q nếu dãy số (un) có:

u_n = u_n-1 × q với mọi n ≥ 2 

Các Công Thức Liên Quan Đến Cấp Số Nhân

Công Thức Tính Số Hạng Thứ n

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức:

u_n = u₁ × q^n-1

Trong đó:

• u₁: số hạng đầu tiên của dãy
• q là công bội (khác 0)
• n: số số hạng.

Công Thức Tính Tổng n Số Hạng Đầu Tiên

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân được tính theo công thức:

S_n = u₁ × (qⁿ – 1)/(q – 1) với q ≠ 1

Bài Tập Áp Dụng Công Thức Cấp Số Nhân

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3, công bội q = 2. Tính số hạng thứ 5. 

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức: u₅ = u₁ × q^{5 – 1} = 3 × 2⁴ = 48

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2, q = 3. Tính tổng 4 số hạng đầu.

Hướng dẫn giải: 

Áp dụng công thức: S₄ = u₁ × (qⁿ – 1)/(q – 1) = 2 × (3⁴ – 1)/(3 – 1) = 80

Ứng Dụng Công Thức Cấp Số Nhân Trong Thực Tế

Không trừu tượng mà có rất nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống, kinh tế và khoa học.

Trong lĩnh vực tài chính, cấp số nhân chính là cơ sở để tính lãi kép – hình thức lãi được cộng dồn vào vốn gốc qua từng chu kỳ giúp tiền “đẻ” ra tiền theo thời gian.

Trong sinh học, sự nhân đôi của tế bào hoặc vi khuẩn sau mỗi khoảng thời gian nhất định cũng tạo thành dãy số nhân với công bội rõ ràng.

Dân số của một khu vực nếu tăng đều đặn hàng năm cũng là ví dụ điển hình của sự tăng trưởng theo cấp số nhân.

Ngoài ra, các hiện tượng vật lý như phản ứng dây chuyền, lan truyền ánh sáng trong laser, hay sự bùng nổ thông tin trên mạng xã hội đều có thể được mô phỏng bằng mô hình cấp số nhân.

Hiểu rõ về cấp số nhân không chỉ giúp bạn giải các bài toán trên giấy hiệu quả mà còn giúp bạn nhìn ra quy luật phát triển trong rất nhiều lĩnh vực của cuộc sống.

Nếu bạn vẫn còn mơ hồ về kiến thức này, đừng ngần ngại liên hệ The TutorX để thuê gia sư lớp 11 chuyên Toán tại nhà. Với hình thức học 1 kèm 1, gia sư Toán lớp 11 từ The TutorX sẽ giúp bạn nhanh chóng làm chủ các chuyên đề quan trọng như cấp số nhân – cấp số cộng, lượng giác, tổ hợp xác suất, giới hạn hàm số...

Hãy đầu tư đúng cách cho việc học ngay hôm nay để sẵn sàng bứt phá trong các kỳ thi giữa kỳ, cuối kỳ hay tuyển học sinh giỏi!