Chứng Minh 3 Đường Thẳng Đồng Quy Trong Hình Học Không Gian

Trong chương trình Toán 11, dạng bài tập chứng minh 3 đường thẳng đồng quy trong hình học không gian là một dạng toán quan trọng và thường gặp. "Đồng quy" có nghĩa là ba (hoặc nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm duy nhất. Hiểu rõ các phương pháp sau sẽ giúp bạn chinh phục dạng toán này một cách dễ dàng.

Phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy hình không gian

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (cùng đi qua một điểm) trong không gian, có hai phương pháp chính sau:

Phương pháp 1: Xác định giao điểm của hai đường thẳng

• Bước 1: Tìm giao điểm I của hai đường thẳng (ví dụ d₁ và d₂).
• Bước 2: Chứng minh đường thẳng thứ ba (d₃) cũng đi qua điểm I.
• Bước 3: Kết luận d₁, d₂, d₃ đồng quy tại I.

Phương pháp 2: Sử dụng Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng

• Nội dung Định lý: Nếu ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt, cắt nhau theo ba giao tuyến a = (P) ∩ (Q), b = (Q) ∩ (R), và c = (R) ∩ (P), thì ba giao tuyến a, b, c phải đồng quy (cùng đi qua một điểm) hoặc song song với nhau.
• Áp dụng: Để chứng minh a, b, c đồng quy, ta chỉ cần chứng minh rằng chúng không song song (ví dụ, chỉ ra a và b cắt nhau tại một điểm).

Ví dụ minh hoạ chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Bài toán (Áp dụng Phương pháp 2):

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi d₁ là giao tuyến của (SAD) và (SBC). Gọi d2 là giao tuyến của (SAB) và (SCD). Gọi d3 là giao tuyến của (SAC) và (SBD) (chính là SO nếu O = AC ∩ BD). Chứng minh d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Phân tích (Hướng dẫn):

Đây là một bài toán vận dụng cao, nhưng chúng ta có thể sử dụng Định lý 3 giao tuyến:

• Để chứng minh d₁ (giao tuyến (SAD) và (SBC)) đồng quy với một đường khác, ta xét 3 mặt phẳng: (SAD), (SBC), và (ABCD).
• Ta có:
  • (SAD) ∩ (SBC) = d₁
  • (SAD) ∩ (ABCD) = AD
  • (SBC) ∩ (ABCD) = BC
• Nếu AD và BC cắt nhau tại I, thì theo Định lý 3 giao tuyến, d₁, AD, BC phải đồng quy tại I. (Điều này có nghĩa là d₁ đi qua I, và S cũng thuộc d₁, vậy d₁ là đường thẳng SI).
• Bằng cách áp dụng tương tự cho các bộ mặt phẳng khác, ta có thể tìm ra điểm đồng quy chung của các giao tuyến.

Xem thêm: Dịch vụ gia sư toán lớp 11 uy tín tại The TutorX

Việc chứng minh 3 đường thẳng đồng quy đòi hỏi học sinh phải nắm vững Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng và vận dụng linh hoạt. Đây là nền tảng quan trọng cho các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

Nếu bạn gặp khó khăn không chỉ với Toán 11 mà còn với các môn tự nhiên khác, hãy liên hệ với gia sư TPHCM The TutorX. Đội ngũ gia sư chuyên nghiệp của chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn bứt phá điểm số!