CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM U: PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN DỄ HIỂU

Định Nghĩa Nguyên Hàm u (Nguyên Hàm Từng Phần)

Phương pháp nguyên hàm từng phần là một kỹ thuật quan trọng dùng để tìm nguyên hàm của một hàm số được biểu diễn dưới dạng tích của hai hàm số khác loại (ví dụ: đa thức nhân logarit, đa thức nhân lượng giác...).

Cơ sở của phương pháp này là biến đổi tích phân ban đầu $\int f(x)dx$ thành một tích phân khác đơn giản hơn bằng cách đặt một phần của biểu thức là $u$ và phần còn lại (bao gồm cả $dx$) là $dv$.

Công Thức Nguyên Hàm u (Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần)

Công thức tính nguyên hàm từng phần, hay còn gọi là công thức nguyên hàm u, được phát biểu như sau:

Cho hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm và liên tục trên một khoảng xác định. Khi đó, ta có công thức:

Để áp dụng thành công công thức này, mấu chốt nằm ở việc xác định đúng $u$ và $dv$. Một quy tắc ưu tiên phổ biến giúp bạn đặt $u$ một cách chính xác là: "Nhất Log, Nhì Đa, Tam Lượng, Tứ Mũ".

• Nhất Log: Ưu tiên đặt $u$ là hàm logarit (l$nx,\mathrm{loga}x$).

• Nhì Đa: Nếu không có Log, ưu tiên đặt $u$ là hàm đa thức (x, x²+1, ...).

• Tam Lượng: Nếu không có Log, Đa, ưu tiên đặt $u$ là hàm lượng giác ($\sin x,\cos x$).

• Tứ Mũ: Cuối cùng mới là hàm mũ (e^x,a^x).

Phần còn lại của biểu thức sẽ là $dv$.

Áp Dụng Công Thức Nguyên Hàm u Giải Bài Tập

Hãy cùng xem xét ví dụ cụ thể để hiểu rõ cách vận dụng công thức.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm I $=\int x\cos xdx$.

Phân tích: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức ($x$) và hàm lượng giác ($\cos x$). Theo quy tắc "Nhì Đa, Tam Lượng", ta sẽ ưu tiên đặt $u$ là hàm đa thức.

Các bước giải:

Vậy, nguyên hàm của $x\cos x$ là $x\sin x+\cos x+C$.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của biểu thức lnx: J = ∫lnxdx

Phân tích: Thoạt nhìn, biểu thức này không giống dạng tích. Tuy nhiên, ta có thể viết lại nó dưới dạng tích của hàm logarit ($\ln x$) và hàm đa thức (số 1). Theo quy tắc "Nhất Log, Nhì Đa", ta phải ưu tiên đặt $u$ là hàm logarit.

Các bước giải: 

Vậy, kết quả của bài toán là $x.\ln x-x+C$. Đây cũng là một nguyên hàm cơ bản nên ghi nhớ.

Xem thêm: Gia sư Toán lớp 12 Uy Tín TP.HCM

Phương pháp nguyên hàm từng phần không hề phức tạp nếu bạn nắm vững công thức nguyên hàm u và quy tắc đặt ẩn ưu tiên "Nhất Log, Nhì Đa, Tam Lượng, Tứ Mũ". Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có thể tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán nguyên hàm.

Nếu bạn vẫn cảm thấy khó khăn với chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân hay bất kỳ phần kiến thức nào trong chương trình Toán 12, đừng ngần ngại tìm kiếm sự hỗ trợ. Đội ngũ gia sư chuyên môn cao tại trung tâm gia sư The TutorX luôn sẵn sàng đồng hành, giúp bạn xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc và bứt phá điểm số trong các kỳ thi quan trọng sắp tới. Liên hệ với chúng tôi ngay hôm nay để được tư vấn lộ trình học tập phù hợp nhất!